Vynucené kmity
\(
\newcommand{\dif}{{\rm d}}
\newcommand{\TD}[2]{\frac{\dif #1}{\dif #2}}
\newcommand{\TDD}[2]{\frac{\dif^2#1}{\dif #2^2}}
\newcommand{\PD}[2]{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}}
\newcommand{\PDc}[2]{\frac{\partial}{\partial #2} #1}
\newcommand{\PDD}[2]{\frac{\partial^2{#1}}{\partial #2^2}}
\newcommand{\PDDs}[3]{\frac{\partial^2{#1}}{\partial{#2}\partial{#3}}}
\newcommand{\TDc}[2]{\frac{\dif}{\dif #2} #1}
\newcommand\cbcancel[2][]{}
\)
na oscilátor působí navíc vnější periodická harmonická budící síla
$F_{b}$ s periodou $\Omega $
\begin{equation*}
F_b=F_0\cos\Omega t
\end{equation*}
tato síla oscilátor rozkmitává, vnucuje mu svou frekvenci a dodává
mu energii
mluvíme o {vynucených kmitech} oscilátoru
pohybová rovnice bude mít tvar
\begin{equation*}
m\ddot{x}=F_h+F_t+F_b
=
-kx-2m\delta \dot{x}+F_{0}\cos \Omega t
\end{equation*}
$F_h$ a $F_t$ převedeme na levou stranu a pohybovou rovnici vydělíme
hmotností $m$
\begin{equation*}
\ddot{x}+\frac{k}{m}x+2\delta \dot{x}=\frac{F_{0}}{m}\cos \Omega t
\end{equation*}
zavedeme do rovnice vlastní frekvenci kmitů $\omega _{0}$ a
označíme
\begin{equation*}
B=\frac{F_{0}}{m}
\end{equation*}
dostaneme
\begin{equation*}\tag{PR}
\ddot{x}+\omega _{0}^{2}x+2\delta \dot{x}=B\cos \Omega t
\end{equation*}
jedná se o nehomogenní diferenciální rovnici
obecné řešení rovnice (PR) bude dáno součtem obecného řešení
homogenní rovnice a zvláštního řešení nehomogenní rovnice
obecné řešení homogenní rovnice již známe -- jsou to tlumené
kmity (s výjimkou v praxi nereálného případu nulového tlumení), které se po
určité době blíží nule
oscilátor tedy na počátku vykonává vlastní kmity, které odezní a
oscilátor dále koná jen vynucené kmity
vynucené kmity budou probíhat s frekvencí $\Omega $ , řešení (PR)
budeme hledat ve tvaru ustálených nucených kmitů
výchylka
\begin{equation}\label{vyk01}
x(t)=A\sin (\Omega t+\varphi _{0})
\end{equation}
rychlost
\begin{equation}\label{vyk02}
v(t)=\dot{x}(t)=A\Omega \cos (\Omega t+\varphi _{0})
\end{equation}
zrychlení
\begin{equation}\label{vyk03}
a(t)=\dot{v}(t)=-A\Omega ^{2}\sin (\Omega t+\varphi _{0})
\end{equation}
řešení pohybové rovnice
dosazením (\ref{vyk01}), (\ref{vyk02}), (\ref{vyk03}) do (PR) dostaneme
\begin{equation}\label{vyk04}
-\Omega ^{2}A\sin(\Omega t+\varphi_0)+\omega _{0}^{2}A\sin (\Omega
t+\varphi _{0})+2\delta \Omega A\cos (\Omega t+\varphi _{0})=B\cos \Omega t
\end{equation}
vytkneme $A\sin(\Omega t+\varphi_0)$
\begin{equation}\label{vyk05}
A\sin(\Omega t+\varphi_0)(\omega_0^2-\Omega^2)
+
2\delta \Omega A\cos(\Omega t+\varphi_0)=B\cos \Omega t
\end{equation}
rozepíšeme sinus a kosinus podle součtových vzorců
\begin{equation}\label{vyk06}
\sin(\Omega t+\varphi_0)
=
\sin\Omega t\cos\varphi_0+\cos\Omega t\sin\varphi_0
\end{equation}
\begin{equation}\label{vyk07}
\cos(\Omega t+\varphi_0)
=
\cos\Omega t\cos\varphi_0-\sin\Omega t\sin\varphi_0
\end{equation}
dostaneme
\begin{equation}\label{vyk08}
A(\sin\Omega t\cos\varphi_0+\cos\Omega t\sin\varphi_0)(\omega_0^2-\Omega^2)
+
2\delta \Omega A(\cos\Omega t\cos\varphi_0-\sin\Omega t\sin\varphi_0)=B\cos
\Omega t
\end{equation}
roznásobíme
\begin{multline}\label{vyk09}
\omega_0^2 A\sin \Omega t\cos \varphi_0
+\omega_0^2 A\cos \Omega t\sin \varphi_0
-\Omega^2 A\sin \Omega t\cos \varphi_0
-\Omega^2 A\cos \Omega t\sin \varphi_0
\\
+2\delta\Omega A\cos\Omega t\cos \varphi_0
-2\delta \Omega A\sin \Omega t\sin\varphi_0
=
B\cos \Omega t
\end{multline}
vytkneme $\sin \Omega t$ a $\cos \Omega t$
\begin{equation}\label{vyk10}
A\left[(\omega_0^2-\Omega^2)\cos\varphi_0-2\delta\Omega\sin\varphi_0\right]
\sin \Omega t
+
A\left[(\omega_0^2-\Omega^2)\sin\varphi_0+2\delta \Omega\cos\varphi_0\right]
\cos\Omega t
=B\cos\Omega t
\end{equation}
koeficienty u $\sin \Omega t$ a $\cos \Omega t$ na obou
stranách rovnice se musí sobě rovnat
tak dostaneme soustavu dvou rovnic k určení parametrů $A$ a $\varphi_{0}$
koeficienty u $\sin \Omega t$
\begin{equation}\label{vyk11}
A\left[(\omega_0^2-\Omega^2)\cos\varphi_0-2\delta\Omega\sin\varphi_0\right]
=
0
\end{equation}
rovnici vydělíme $\cos \varphi_{0}$ a dostaneme
\begin{equation}\label{vyk12}
(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})-2\delta \Omega \tan \varphi _{0}=0
\end{equation}
odsud vyjádříme $\tan \varphi _{0}$ jako
\begin{equation*}\tag{FR}
\tan \varphi _{0}=\frac{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}}{2\delta \Omega }
\end{equation*}
koeficienty u $\cos \Omega t$
\begin{equation}\label{vyk13}
A\left[(\omega_0^2-\Omega^2)\sin\varphi_0+2\delta \Omega\cos\varphi_0\right]
=
B
\end{equation}
dále sečteme druhé mocniny rovnic (\ref{vyk11}) a (\ref{vyk13}) a
dostaneme
\begin{multline}\label{vyk14}
A^{2}\left[(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})^{2}\cos
^{2}\varphi _{0}-4(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})\delta \Omega \sin \varphi
_{0}\cos \varphi _{0}+4\delta ^{2}\Omega ^{2}\sin ^{2}\varphi
_{0}\right]+
\\
+A^{2}\left[(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})^{2}\sin
^{2}\varphi _{0}+4(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})\delta \Omega \sin \varphi
_{0}\cos \varphi _{0}+4\delta ^{2}\Omega ^{2}\cos ^{2}\varphi
_{0}\right]=B^{2}
\end{multline}
tj.
\begin{equation}\label{vyk15}
A^{2}\left[(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})^{2}(\cos ^{2}\varphi _{0}+\sin
^{2}\varphi _{0})+4\delta ^{2}\Omega ^{2}(\sin ^{2}\varphi _{0}+\cos ^{2}\varphi
_{0})\right]=B^{2}
\end{equation}
pro $A$ máme
\begin{equation*}\tag{AR}
A=\frac{B}{\sqrt{(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})^{2}+4\delta ^{2}\Omega
^{2}}}
\end{equation*}